乗法公式 [式の展開⇔因数分解]

2024/10/14

算数/数学メモ

式の展開と因数分解というツールの使い方を覚えて(公式を覚える)2次方程式などで使いこなせるようにするための下準備。誤字脱字が多々あるやもしれませんm(__)m

乗法公式

展開の基本

(a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd

乗法公式

(x+a)(x+b) = x²+(a+b)x+ab
(x+a)² = x²+2ax+a²
(x-a)² = x²-2ax+a²
(x+a)(x-a) = x²-a²

式の展開

式の展開

(多項式)×単項式　(多項式)×(多項式)の()を外して単項式の足し算の式(一つの多項式にする)にすること

乗法公式

式を展開するときの4つの代表的な公式

(多項式)×(多項式)

○(a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd　を用い()を外した後、同類項をまとめる。

◎問題の式に合わせて4つの乗法公式を使い分ける。

置き換えについては私は習った記憶がないので脳トレ用の算数・数学アプリに出てきて「！？」となりました(´･ω･`)

因数分解

因数分解⇔式の展開。簡単に言うと展開してある式を展開前の状態に戻すこと。3(2+1)=3×2+3×1は同じと分配法則でやりましたが=の右側が展開された式=の左側が因数分解された式です。因数は積を構成する要素である数。12なら1×12　2×6　3×4　1、2，3，4、6,12が因数で約数と同じ。6を2×3に分解したときの2と3が因数。積を掛け算の式に分解する→積を因数に分解するので因数分解。3×2+3×1→積+積の式　因数は3と2　3と1です。二つの積に共通している因数が3で　多項式の項すべてにかかっている共通数する因数が共通因数。共通因数を()の外にくくりだして()のなかに残りをいれるのです。(2+1)×3となるわけです。因数は（2+1）と3です。展開するときは外の数字を分配すればよかったのですが戻すときは共通してかかっている数字を探さないといけないわけです。まあ算数程度なら(逆算や扇形+半円の面積などでやったことがある方もいるでしょう）簡単ですがこれが多項式になるとややこしくなるのです。簡単な数字で例えたので本来なら6+3となりますが、逆算だと□×2+□×1＝9という風になっており（2+1)×□＝9　9÷3＝3　□＝3　□にあたるのが文字です文字式では項は積で表されているのでそれを(因数)(因数)に分解します。説明がうまくいかなくてあれですが(-_-;)　(多項式)(多項式)の掛け算を一つの多項式にするのが展開その一つの多項式を()()の形に分解するのが因数分解。

因数

積を構成する数(掛けられる数と掛ける数のこと)
約数と同じ。積が12なら1×12 2×6 3×4 1，2，3，4，6,12が因数。
多項式の積の因数は積を構成しているそれぞれの単項式や多項式

共通因数

多項式の項全てに共通してかけられている因数

因数分解

簡単に言うと展開の逆をすること。
積を因数に分解する(掛け算の式に戻す)ので因数分解
多項式を単項式(多項式)、(多項式)(多項式)の形(展開前の式)にすること

分配法則で展開⇔因数分解

分配法則の式　a(b+c)=ab+acを利用した因数分解

ab+ac=a(b+c)としてもa(b+c)=ab+acとしても同じこと。このab+ac=a(b+c)の式を利用して多項式の積を因数分解して展開前の式(掛け算の式)にする
abとacはaが共通してかけられているのでaが共通因数。共通因数をくくりだして(掛けられている共通因数を項から除く)()の前に置いて共通因数を除いた残りの因数を()の中にいれる。共通因数aを()の前に置くa()→a×b+a×cの共通因数aを除くとb+cが残るので()の中に。a(b+c)

16x²+28xyみたいに共通因数を除いた項が分かりにくい場合は項を共通因数で割る。共通因数は係数16と係数28の最大公約数の4とx　4xが共通因数。16x²から4xを除く　28xy4xを除く　→　16x²/4x　28xy/4x→　4x+7y→　4x(4x+7y)
因数分解は展開の逆算をすることなので4x×4x=16x²　4x×7y=28xy　の逆算　16x²÷4x=4x　28xy÷4x=7y　をしている。

公式を使った因数分解

乗法公式を利用して因数分解
乗法公式は等式になっているので左辺と右辺を入れ替えた式が因数分解の公式となる。
等式は=(等号)で結ばれた式で=を挟んだ右と左が同等であることを指した式のこと。3+3=6、(3+2)3=3×3+3×2など左と右が同値である式のこと。
等式の性質の一つに左辺と右辺を入れ替えても等式は成り立つというのがある

x²+(a+b)x+ab = (x+a)(x+b)